Question

【題目】已知:如圖，等腰中，，∥，CD∥，點沿著從向運動，同時點沿著從向運動，、兩點速度相同，當到達時，兩點停止運動.

(1)圖中有__________對全等三角形.請你找一對說明理由，寫出過程.

(2)在、運動過程中，圖中陰影部分的面積是否發生變化？請說明理由.

(3)當平分時，延長交于，試說明.

(4)在(3)的條件下，若，請問此時點和點重合嗎?為什么?

Answer 1

【答案】（1）3，見解析；（2）圖中陰影部分的面積不發生變化，理由見解析；（3）見解析；（4）E點和G點重合，理由見解析.

【解析】

（1）根據全等三角形的判定定理寫出圖中的所有全等三角形，根據SAS定理證明△ABC≌△CDA；

（2）證明△BCE≌△DAF，得到圖中陰影部分的面積＝△ABC的面積；

（3）利用SAS定理證明△AEC≌△CFD，根據全等三角形的性質解答；

（4）根據等腰三角形的判定定理得到EA＝EC，根據△BCE≌△GCF得到BC＝GC，證明CB＝CE，證明結論．

解：（1）△ABC≌△CDA，△BCE≌△DAF，△AEC≌△CFD，

證明△ABC≌△CDA，

證明：∵AD∥BC，CD∥AB，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠ADC，

在△ABC和△CDA中，AB＝CD，∠B＝∠ADC，BC＝AD，

∴△ABC≌△CDA（SAS），

故答案為：3；

（2）在E、F運動過程中，圖中陰影部分的面積不發生變化，

理由：由題意得，BE＝AF，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，

∴∠DAC＝∠B，

在△BCE和△DAF中，BE＝AF，∠B＝∠DAF，BC＝DA，

∴△BCE≌△DAF（SAS），

∴圖中陰影部分的面積＝△ABC的面積，

∴在E、F運動過程中，圖中陰影部分的面積不發生變化；

（3）∵BE＝AF，

∴AE＝CF，

在△AEC和△CFD中，AE＝CF，∠CAE＝∠DCF，AC＝DC，

∴△AEC≌△CFD（SAS）

∴∠AEC＝∠DFC，

∴∠BEC＝∠GFC，

∵∠BCE＝∠ACE，

∴∠CGF＝∠B；

（4）∵AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD，

∵∠ECA＝∠ACD，

∴∠ECA＝∠BAC，

∴EA＝EC，

∵CF＝AE，

∴CF＝CE，

在△BCE和△GCF中，∠BCE＝∠GCF，∠B＝∠CGF，CE＝CF，

∴△BCE≌△GCF（AAS）

∴BC＝GC，

∵∠EAC＝∠ECA，∠BCE＝∠ACE，

∴∠BEC＝∠ACB，

∵∠ACB＝∠B，

∴∠BEC＝∠B，

∴CB＝CE，又CB＝GC，

∴E點和G點重合．