Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C，D為上的點，且＝，延長AD，BC相交于點E，連接OD交AC于點F．

（1）求證：△ABC≌△AEC；

（2）若OA＝3，BC＝4，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）先根據等弧所對的圓周角相等得∠CAE＝∠CAB，再根據ASA證明即可．
（2）連接BD交OC于K，作OH⊥BC于H．求出OK的長，利用三角形的中位線定理即可解決問題．

（1）證明：∵＝，

∴∠CAE＝∠CAB，

∵AB是直徑，

∠ACB＝∠ACE＝90°，

∵AC＝AC，

∴△ABC≌△AEC（ASA）．

（2）連接BD交OC于K，作OH⊥BC于H．

∵OH⊥BC，

∴CH＝HB＝2，

∵OB＝3，

∴OH＝＝，

∵＝，

∴OC⊥BD，DK＝KB，

∵BCOH＝OCBK，

∴BK＝，

∴OK＝＝，

∵OA＝OB，DK＝KB，

∴AD＝2OK＝．