Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30。點D是AC上的動點，過D作DF⊥BC于F，再過F作FE//AC，交AB于E。設CD=x，DF=y.
（1）求y與x的函數關系式；
（2）當四邊形AEFD為菱形時，求x的值；
（3）當△FED是直角三角形時，求x的值.

Answer 1

（1）；（2）40；（3）30.

試題分析：（1）由已知，根據銳角三角函數定義和特殊角的三角函數值可得∠C=30°，從而在Rt△CDF中，再應用銳角三角函數定義和特殊角的三角函數值可得y與x的函數關系式.
（2）根據菱形四邊相等的性質，由AD=DF即AC－CD=DF列方程求解.
（3）首先判斷△FED是直角三角形只有∠FDE=90°，得出，解之即為所求.
試題解析：（1）∵∠B=90°，AC=60，AB=30，
∴.∴∠C=30°.∴.
∴y與x的函數關系式為.
（2）當四邊形AEFD為菱形時，有AD=DF，
∴AC－CD=DF，即，解得x=40.
∴當四邊形AEFD為菱形時，x=40.
（3）如圖，當△FED直角三角形是時，只能是∠FDE=90°，
∵DF⊥BC，∠B=90°，∴DF//AB.
又∵FE//AC，∴四邊形AEFD為平行四邊形. ∴AE=DF.
由DF⊥BC得∠2=90°，∴∠1=∠2. ∴DE//BC.
∴∠3=∠B=90°，∠4=∠C=30°.
在Rt△BOC中，，即60－x=x，
∴x=30.
∴當△FED是直角三角形時，x=30.