Question

某通訊器材公司銷售一種市場需求較大的新型通訊產品，已知每件產品的進價為40元，每年銷售該種產品的總開支（不含進價）總計120萬元．在銷售過程中發現單價為60元時，年銷售量可達5萬件；若價格上漲，相應銷量就會減少；當單價為80元時，銷售量降至4萬件，設銷售單價為x元．（x＞60）
①用含x的代數式表示出年銷售量；  
②當單價定為多少元時，年銷售獲利可達40萬元？
③當銷售單價x為何值時，年獲利最大？并求出這個最大值．

Answer 1

分析：①設一次函數為y=kx+b，把已知坐標代入求出k，b的值后可求出函數解析式；
②根據題意可知40=yx-40y-120，進而求出即可即可；
③利用配方法求出二次函數的最值即可．

解答：解：①∵在銷售過程中發現單價為60元時，年銷售量可達5萬件；
若價格上漲，相應銷量就會減少；當單價為80元時，銷售量降至4萬件，
∴用含x的代數式表示出年銷售量為：5-

x-60

20

=5-

1

20

（x-60）（萬件）；

②設當單價定為x元時，年銷售獲利可達40萬元，
則40=yx-40y-120，
40=-

1

20

x²+10x-440
x²-200x+9600=0
（x-80）（x-120）=0，
解得：x₁=80，x₂=120，
當單價定為：80元或120元，年銷售獲利可達40萬元；

③W=yx-40y-120=（-

1

20

x+8）（x-40）-120=-

1

20

x²+10x-440
故當銷售單價x為100元時，年獲利最大，最大值為60萬元．

點評：此題主要考查了一元二次方程的應用以及二次函數的應用以及最值求法，將實際問題轉化為求函數最值問題，從而來解決實際問題，比較簡單．