Question

如圖，一個正三角形經過變換依次成為正六邊形、正十二邊形、正二十四邊形、…．當這些正多邊形的周長都相等時，正六邊形的面積

 

正十二邊形的面積（填不等的符號）．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，分別求出正三角形與這個正六邊形的面積即可作出比較．

解答：解：設正三角形的邊長為a，則正方形的邊長為

3a

4

，正六邊形的邊長為

a

2

；
∵正三角形的邊長為a，
∴其高為

3 a

2

，
∴S₁=

1

2

a×

3 a

2

=

3 a2

4

；
S₂=（

3a

4

）²=

9a2

16

；
∵正六邊形的邊長為

a

2

，
∴把正六邊形分成六個三角形，其高為

3 a

4

，
∴S₃=6×

1

2

×

a

2

×

3 a

4

=

3 3 a2

8

．
∵S₁=

3 a2

4

=

4 3 a2

16

，S₃=

3 3 a2

8

=

6 3 a2

16

，

4 3 a2

16

＜

9a2

16

＜

6 3 a2

16

，
∴S₁＜S₂＜S₃．
故答案為：＜

點評：此題考查的是正三角形、正方形、正六邊形面積的求法，屬中等難度題目．