Question

【題目】如圖，拋物線y= x2﹣x+a與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，其頂點在直線y=﹣2x上．

（1）求a的值；
（2）求A，B的坐標；
（3）以AC，CB為一組鄰邊作ACBD，則點D關于x軸的對稱點D′是否在該拋物線上？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y= x2﹣x+a其頂點在直線y=﹣2x上．

∴拋物線y= x2﹣x+a，

= （x2﹣2x）+a，

= （x﹣1）2﹣ +a，

∴頂點坐標為：（1，﹣ +a），

∴y=﹣2x，﹣ +a=﹣2×1，

∴a=﹣

（2）

解：二次函數解析式為：y= x2﹣x﹣ ，

∵拋物線y= x2﹣x﹣ 與x軸交于點A，B，

∴0= x2﹣x﹣ ，

整理得：x2﹣2x﹣3=0，

解得：x=﹣1或3，

A（﹣1，0），B（3，0）

（3）

解：作出平行四邊形ACBD，作DE⊥AB，

在△AOC和△BDE中

∵

∴△AOC≌△BED（AAS），

∵AO=1，

∴BE=1，

∵二次函數解析式為：y= x2﹣x﹣ ，

∴圖象與y軸交點坐標為：（0，﹣ ），

∴CO= ，∴DE= ，

D點的坐標為：（2， ），

∴點D關于x軸的對稱點D′坐標為：（2，﹣ ），

代入解析式y= x2﹣x﹣ ，

∵左邊=﹣ ，右邊= ×4﹣2﹣ =﹣ ，

∴D′點在函數圖象上．

【解析】（1）根據二次函數的頂點坐標的求法得出頂點坐標，再代入一次函數即可求出a的值；（2）根據二次函數解析式求出與x軸的交點坐標即是A，B兩點的坐標；（3）根據平行四邊形的性質得出D點的坐標，即可得出D′點的坐標，即可得出答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．