Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系內，已知點A（0，6）、點B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設點P、Q移動的時間為t秒．
（1）求直線AB的解析式；
（2）當t為何值時，△APQ與△AOB相似？
（3）當t為何值時，△APQ的面積為 個平方單位？

Answer 1

【答案】
（1）解：設直線AB的解析式為y=kx+b，

由題意，得 ，

解得 ，

所以，直線AB的解析式為y=﹣ x+6

（2）解：由AO=6，BO=8得AB=10，

所以AP=t，AQ=10﹣2t，

① 當∠APQ=∠AOB時，△APQ∽△AOB．

所以 = ，

解得t= （秒），

②當∠AQP=∠AOB時，△AQP∽△AOB．

所以 = ，

解得t= （秒）；

∴當t為 秒或 秒時，△APQ與△AOB相似

（3）解：過點Q作QE垂直AO于點E．

在Rt△AOB中，sin∠BAO= = ，

在Rt△AEQ中，QE=AQsin∠BAO=（10﹣2t） =8﹣ t，

S△APQ= APQE= t（8﹣ t），

=﹣ t2+4t= ，

解得t=2（秒）或t=3（秒）．

∴當t為2秒或3秒時，△APQ的面積為 個平方單位

【解析】（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，解得k，b即可；（2）由AO=6，BO=8得AB=10，①當∠APQ=∠AOB時，△APQ∽△AOB利用其對應邊成比例解t．②當∠AQP=∠AOB時，△AQP∽△AOB利用其對應邊成比例解得t．（3）過點Q作QE垂直AO于點E．在Rt△AEQ中，QE=AQsin∠BAO=（10﹣2t） =8﹣ t，再利用三角形積解得t即可．