Question

在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意兩點(diǎn)與的“非常距離”，給出如下定義：

若，則點(diǎn)與點(diǎn)的非常距離為；

若，則點(diǎn)與點(diǎn)的非常距離為；

例如：點(diǎn)（1，2），點(diǎn)（3，5），因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/2013022809185102608270/SYS201302280919496197837140_ST.files/image010.png">，所以點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為，也就是圖1中線段與線段長度的較大值（點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線與垂直于x軸的直線的交點(diǎn)）．

（1）已知點(diǎn)A（，0），B為y軸上的一個(gè)動點(diǎn)，

①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2，寫出滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值．

（2）已知C是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，

①如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②如圖3，E是以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓上的一個(gè)動點(diǎn)，求點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”的最小值及相應(yīng)點(diǎn)E和點(diǎn)C的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）①B（0，2）或（0，-2）；②；

（2）①最小值，C（，）；②最小值1，E（，），C（，）

【解析】

試題分析：（1）①根據(jù)點(diǎn)B位于y軸上，可以設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．由“非常距離”的定義可以確定，據(jù)此可以求得y的值；

②設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/2013022809185102608270/SYS201302280919496197837140_DA.files/image009.png">，所以點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”最小值為；

（2）①設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，）．根據(jù)材料“若，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為”知，C、D兩點(diǎn)的“非常距離”的最小值為，據(jù)此可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；

②當(dāng)點(diǎn)E在過原點(diǎn)且與直線垂直的直線上時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”最小，即E（，）．解答思路同上．

（1）①∵B為y軸上的一個(gè)動點(diǎn)，

∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）,

，

解得，y=2或y=-2；

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，2）或（0，-2）；

②點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值為

 

（2）①如圖2，取點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值時(shí)，需要根據(jù)運(yùn)算定義“若，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為”解答，此時(shí)|=．即AC=AD，

∵C是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），

∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，），

，

解得，

∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值為：，

此時(shí)C（，）；

②E（，）

，

解得，

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，），

最小值為1．

考點(diǎn)：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用

點(diǎn)評：解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確理解題中的“非常距離”的定義。