Question

【題目】如圖，AB、CD為⊙O的直徑，弦AE∥CD，連接BE交CD于點F，過點E作直線EP與CD的延長線交于點P，使∠PED=∠C．

（1）求證：PE是⊙O的切線；

（2）求證：ED平分∠BEP；

（3）若⊙O的半徑為5，CF=2EF，求PD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析；（3）．

【解析】試題分析：（1）如圖，連接OE，證明OE⊥PE即可得出PE是⊙O的切線；

（2）由圓周角定理得到∠AEB=∠CED=90°，進而得到∠3=∠4，結合已知條件證得結論；

（3）設EF=x，則CF=2x，在RT△OEF中，根據勾股定理求出EF的長，進而求得BE，CF的長，在RT△AEB中，根據勾股定理求出AE的長，然后根據△AEB∽△EFP，求出PF的長，即可求得PD的長．

試題解析：（1）如圖，連接OE．∵CD是圓O的直徑，∴∠CED=90°，∵OC=OE，∴∠1=∠2，又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，∴∠PED=∠2，∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，∴OE⊥EP，又∵點E在圓上，∴PE是⊙O的切線；

（2）∵AB、CD為⊙O的直徑，∴∠AEB=∠CED=90°，∴∠3=∠4（同角的余角相等），又∵∠PED=∠1，∴∠PED=∠4，即ED平分∠BEP；

（3）設EF=x，則CF=2x，∵⊙O的半徑為5，∴OF=2x﹣5，在RT△OEF中，，即，解得x=4，∴EF=4，∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∵AB=10，BE=8，∴AE=6，∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，∴△AEB∽△EFP，∴，即，∴PF=，∴PD=PF﹣DF==．