Question

如下圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21．動點P從點D出發，沿射線DA的方向以每秒2兩個單位長的速度運動，動點Q從點C出發，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動．設運動的時間為t(秒)．

(1)設△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式；

(2)當t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？

(3)當線段PQ與線段AB相交于點O，且2AO＝OB時，求∠BQP的正切值；

(4)是否存在時刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如下圖，過點P作PM⊥BC，垂足為M，則四邊形PDCM為矩形． 　　∴PM＝DC＝12∵QB＝16－t， 　　∴S＝×12×(16－t)＝96－t 　　(2)由圖可知：CM＝PD＝2t，CQ＝t．以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況： 　　①若PQ＝BQ．在Rt△PMQ中，， 　　由PQ2＝BQ2得，解得t＝； 　　②若BP＝BQ．在Rt△PMB中，．由BP2＝BQ2得： 　　即． 　　由于Δ＝－704＜0 　　∴無解，∴PB≠BQ 　　③若PB＝PQ．由PB2＝PQ2，得 　　整理，得．解得(不合題意，舍去) 　　綜合上面的討論可知：當t＝秒時，以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形． 　　(3)如下圖，由△OAP∽△OBQ，得 　　∵AP＝2t－21，BQ＝16－t，∴2(2t－21)＝16－t． 　　∴t＝． 　　過點Q作QE⊥AD，垂足為E， 　　∵PD＝2t，ED＝QC＝t，∴PE＝t． 　　在RT△PEQ中，tan∠QPE＝ 　　(4)設存在時刻t，使得PQ⊥BD．如下圖， 　　過點Q作QE⊥ADS，垂足為E． 　　由Rt△BDC∽Rt△QPE，得 　　，即．解得t＝9 　　所以，當t＝9秒時，PQ⊥BD．