Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A沿AB向點B以1cm/s的速度移動，同時，點Q從點B沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動，點P、Q分別到達B、C兩點就停止運動、設運動的時間為t（秒）．
（1）設△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并且指出t的取值范圍；
（2）幾秒后△PBQ的面積等于8cm²？
（3）當t為何值時，△DPQ是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）用含有t的式子分別表示PB，BQ的長，再根據三角形的面積公式表示△BPQ的面積即可；
（2）當S=8，代入第一問得到的函數式即可求解；
（3）題中沒有指明哪個邊與哪邊相等，故應該分三種情況進行分析，分別是DP=DQ，DP=PQ，PQ=DQ．從而求得所需的時間．

解答：解：（1）設運動的時間為t（秒）
∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm
∴PB=6-t，BQ=2t
∴S_△BPQ=

1

2

×PB×BQ=t（6-t）（0＜t＜6）．

（2）∵S_△BPQ=8
∴t（6-t）=8
∴t=2或t=4
∴當t=2或t=4后△PBQ的面積等于8cm²．

（3）①當DP=DQ時，

122+t2

=

62+(12-2t)2

解得，t₁=8+2

13

（舍去）
t₂=8-2

13

；
②當DP=PQ時，

122+t2

=

(2t)2+(6-t)2

解得，t₁=

3-3 13

2

（舍去）
t₂=

3+3 13

2

；
③當DQ=PQ時，

62+(12-2t)2

=

(6-t)2+(2t)2

解得，t₁=-18-6

13

（舍去）
t₂=-18+6

13

；
所以當t為8-2

13

或

3+3 13

2

或-18+6

13

時，△DPQ是等腰三角形．

點評：此題主要考查學生以等腰三角形的判定的理解及運用能力，及分類討論思想的掌握．