Question

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，AE=ED，DF=

1

4

DC，連接EF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的邊長(zhǎng)為4，求BG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)，可得∠A=∠D，根據(jù)已知可得

AE

AB

=

DF

DE

，根據(jù)有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；
（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CG的長(zhǎng)，即可求得BG的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵ABCD為正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴

AE

AB

=

1

2

，
∵DF=

1

4

DC，
∴

DF

DE

=

1

2

，
∴

AE

AB

=

DF

DE

，
∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵ABCD為正方形，
∴ED∥BG，
∴

ED

CG

=

DF

CF

，
又∵DF=

1

4

DC，正方形的邊長(zhǎng)為4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定（有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似）、正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．