Question

在平面直角坐標系XOY中，直線l₁過點A（1，0）且與y軸平行，直線l₂過點B（0，2）且與x軸平行，直線l₁與直線l₂相交于點P，點E為直線l₂上一點，反比例函數（k＞0）的圖象過點E與直線l₁相交于點F。
（1）若點E與點P重合，求k的值；
（2）連接OE、OF、EF，若k＞2，且△OEF的面積為△PEF的面積的2倍，求E點的坐標；
（3）是否存在點E及y軸上的點M，使得以點M、E、F為頂點的三角形與△PEF全等？若存在，求E點坐標；若不存在，請說明理由。 

Answer 1

解：（1）∵直線l1過點A（1，0）且與y軸平行，直線l2過點B（0，2）且與x軸平行，直線l1與直線l2相交于點P， ∴點P（1，2）， 若點E與點P重合，則k=1×2=2；
（2）當k＞2時，如圖1，點E、F分別在P點的右側和上方，過E作x軸的垂線EC，垂足為C，過F作y軸的垂線FD，垂足為D，EC和FD相交于點G，則四邊形OCGD為矩形， ∵PE⊥PF， ∴， ∴S△PEF=， ∴四邊形PFGE是矩形， ∴S△PEF=S△GFE， ∴S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△GFE-S△OCE=， ∵S△OEF=2S△PEF， ∴，解得k=6或k=2， ∵k=2時，E、F重合，舍去， ∴k=6， ∴E點坐標為：（3，2）。
（3）存在點E及y軸上的點M，使得△MEF≌△PEF ①當k＜2時， 如圖2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y軸于H， ∵△FHM∽△MBE， ∴， ∵FH=1，EM=PE=1-，FM=PF=2-k， ∴， ∴， 在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2， ∴  解得k=，此時E點坐標為（，2）。 ②當k＞2時， 如圖3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y軸于Q，△FQM∽△MBE得，， ∵FQ=1，EM=PF=k-2， FM=PE=-1，  ∴ ，BM=2， 在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2， ∴， 解得k=或0，但k=0不符合題意， ∴k=， 此時E點坐標為（，2）， ∴符合條件的E點坐標為（，2）（，2）。