Question

【題目】(11分)如圖1，點A(a，b)在平面直角坐標系xOy中，點A到坐標軸的垂線段AB，AC與坐標軸圍成矩形OBAC，當這個矩形的一組鄰邊長的和與積相等時，點A稱作“垂點”，矩形稱作“垂點矩形”.

(1)在點P(1，2)，Q(2，－2)，N(，－1)中，是“垂點”的點為 ；

(2)點M(－4，m)是第三象限的“垂點”，直接寫出m的值 ；

(3)如果“垂點矩形”的面積是，且“垂點”位于第二象限，寫出滿足條件的“垂點”的坐標 ；

(4)如圖2，平面直角坐標系的原點O是正方形DEFG的對角線的交點，當正方形DEFG的邊上存在“垂點”時，GE的最小值為8.

Answer 1

【答案】（1）Q；（2）－；（3）（－4，），（－，4）；（4）8

【解析】

（1）根據“垂點”的意義直接判斷即可得出結論；

（2）根據“垂點”的意義建立方程即可得出結論；

（3）根據“垂點”的意義和矩形的面積建立方程即可得出結論；

（4）先確定出直線EF的解析式，利用“垂點”的意義建立方程，利用非負性即可確定出m的范圍，即可得出結論．

（1）∵P（1，2），∴1+2=3，1×2=2，

∵2≠3，∴點P不是“垂點”，

∵Q（2，﹣2），∴2+2=4，2×2=4，∴Q是“垂點”．

∵N（，﹣1），∴+1=×1=，

∵，∴點N不是“垂點”，

故答案為：Q；

（2）∵點 M（﹣4，m）是第三象限的“垂點”，∴4+（﹣m）=4×（﹣m），∴m=﹣，

故答案為：﹣；

（3）設“垂點”的坐標為（a，b），∴﹣a+b=﹣ab，

∵“垂點矩形”的面積為，∴﹣ab=．

即：﹣a+b=﹣ab=，

解得：a=﹣4，b=或a=﹣，b=4，∴“垂點”的坐標為（﹣4，）或（﹣，4），

故答案為：（﹣4，）或（﹣，4），．

（4）設點E（m，0）（m＞0），

∵四邊形EFGH是正方形，∴F（0，m），y=﹣x+m．設邊EF上的“垂點”的坐標為（a，﹣a+m），∴a+（﹣a+m）=a（﹣a+m）

∴a2﹣am=﹣m，∴（a﹣）2=≥0，∴m2﹣4m=m（m﹣4）≥0，

∵m＞0，∴m﹣4≥0，∴m≥4，∴m的最小值為4，∴EG的最小值為2m=8，

故答案為：8．