Question

已知：m，n是方程x²-6x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m＜n，拋物線y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（m，0），A（0，n）
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）（1）中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，求出C，D的坐標(biāo)和△ACD的面積；
（3）P是線段OC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸，與拋物線交于H點(diǎn)，交AC于F點(diǎn)，如直線AC把△PCH分成面積1：3的兩部分，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）通過解方程即可求出m、n的值，那么A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)就可求出．然后根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)（1）得出的拋物線的解析式即可求出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)．由于△ACD的面積無法直接求出，可用其他圖形的面積的“和，差關(guān)系”來求出．過D作DM⊥x軸于M，那么△ACD的面積=梯形DMOA的面積+△DCM的面積-△AOC的面積．由此可求出△ACD的面積．
（3）由于△PCH被直線AC分成的兩個(gè)小三角形等高，因此面積比就等于底邊的比．如果設(shè)PH與AC的交點(diǎn)為E，那么EH就是拋物線與直線AC的函數(shù)值的差，而EP就是E點(diǎn)的縱坐標(biāo)．然后可根據(jù)直線BC的解析式設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出EH，EP的長(zhǎng)．進(jìn)而可分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)EH=

3

2

EP時(shí)；②當(dāng)EH=

2

3

EP時(shí)．由此可得出兩個(gè)不同的關(guān)于E點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程即可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．也就求出了P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）解方程x²-6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1，
由m＜n，有m=1，n=5，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（0，5），B（1，0），
將A（0，5），B（1，0）的坐標(biāo)分別代入y=-x²+bx+c．
得

-1+b+c=0 c=5

，
解這個(gè)方程組，得

b=-4 c=5

，
∴拋物線的解析式為y=-x²-4x+5；

（2）由y=-x²-4x+5，令y=0，得-x²-4x+5=0，
解這個(gè)方程，得x₁=-5，x₂=1，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-5，0）．
由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算，得點(diǎn)D（-2，9）．
過D作x軸的垂線交x軸于M．
則S_△DMC=

1

2

×9×（5-2）=

27

2

，
S_梯形MDAO=

1

2

×2×（9+5）=14，
S_△AOC=

1

2

×5×5=

25

2

∴S_△ACD=S_梯形MDAO+S_△DMC-S_△AOC=14+

27

2

-

25

2

=15．

（3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0）
∵線段AC過A、C兩點(diǎn)，
∴AC所在的直線方程為y=x+5．
∴PH與直線AC的交點(diǎn)坐標(biāo)為E（a，a+5），
PH與拋物線y=-x²-4x+5的交點(diǎn)坐標(biāo)為H（a，-a²-4a+5）．
由題意，得①EH=

3

2

EP，
即（-a²-4a+5）-（a+5）=

3

2

（a+5），
解這個(gè)方程，得a=-

3

2

或a=-5（舍去）
②EH=

2

3

EP，即（-a²-4a+5）-（a+5）=

2

3

（a+5），
解這個(gè)方程，得a=-

2

3

或a=-5（舍去）
P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

3

2

，0）或（-

2

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查一元二次方程的解法、二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問題的能力．解題的關(guān)鍵是注意函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解，不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差，注意數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．