Question

【題目】如圖所示，直線與坐標軸交于點，與拋物線交于點，點的坐標是．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點是線段上（不與重合）的一個動點，過點作軸，交拋物線于點，過點作，交直線于點，以為邊作矩形，請求出矩形周長的最大值；

（3）若點在軸正半軸上，當恰好是等腰三角形時，請直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），，

【解析】

（1）對于，令y=0求出x=-2即可得點A（-2，0），把A，C點坐標代入求出a，c的值即可；

（2）設點D的坐標是，則點E的坐標是，可得DE=，證明△DFE∽△BOA，得DF∶EF∶DE =3∶4∶5．從而可得矩形DFEG的周長，從而可得結論；

（3）由勾股定理求出AC=，設P(0，m)(m＞0)，然后分AP=AC，AC=PC，AP=PC三種情況列式求解即可.

解：（1）由知，y=0時x=-2，

∴A（-2，0）．

∵拋物線經過A（-2，0） 、C（4，）兩點，

∴ 解得

∴拋物線的解析式為．

（2）∵DE∥y軸，點D在線段AC上，點E在拋物線上，

∴設點D的坐標是，則點E的坐標是．

∴DE=．

由知A（-2，0），B（0， ），

∴AO=2，OB=

Rt△OAB中，由勾股定理可得，AB=

∴OB∶OA∶AB =3∶4∶5．

由題意得，∠DFE=∠BOA=90°，∠EDF=∠ABO，

∴△DFE∽△BOA．

∴DF∶EF∶DE =3∶4∶5．

∴矩形DFEG的周長，其中．

∴當時，矩形DFEG的周長取得最大值．

（3）由題意得，，，

設，

①若，則

或（舍去）

②若，則

或（負值舍去）

③若，則

綜上所述，點P的坐標為，，．