Question

如圖，PA、PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D．若PA、PB的長是關于x的一元二次方程x²-mx+m-1=0的兩個根，求△PCD的周長．

Answer 1

分析：由PA、PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，根據切線長定理，可得PA=PB，又由PA、PB的長是關于x的一元二次方程x²-mx+m-1=0的兩個根，根據根與系數的關系，可求得PA與PB的長，又由CD切⊙O于點E，即可得△PCD的周長等于PA+PB．

解答：解：∵PA、PB的長是關于x的一元二次方程x²-mx+m-1=0的兩個根，
∴PA+PB=m，PA•PB=m-1，
∵PA、PB切⊙O于A、B兩點，
∴PA=PB=

m

2

，
即

m

2

•

m

2

=m-1，
即m²-4m+4=0，
解得：m=2，
∴PA=PB=1，
∵PA、PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，
∴AD=ED，BC=EC，
∴△PCD的周長為：PD+CD+PC=PD+DE+EC+PC=PD+AD+BC+PC=PA+PB=2．

點評：此題考查了切線長定理以及一元二次方程根與系數的關系．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．