Question

兩個等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如圖1擺放，其中D點在AB上，連接BE．
（1）則=______，∠CBE=______度；
（2）當把△DEF繞點C旋轉到如圖2所示的位置時（D點在BC上），連接AD并延長交BE于點F，連接FC，則=______，∠CFE=______度；
（3）把△DEC繞點C旋轉到如圖3所示的位置時，請求出∠CFE的度數______．

Answer 1

解：（1）∵△ABC和△DCE是等腰三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD=45°，
因此=1，∠CBE=45°；

（2）同（1）可得BE=AD，
∴=1，
∠CBE=∠CAD；
又∵∠ACD=90°，∠ADC=∠BDF，
∴∠BFD=∠ACD=90°；
又∵∠DCE=90°，
∴C、E、F、D四點共圓，
∴∠CFE=∠CDE=45°；

（3）同（2）可得∠BFA=90°，
∴∠DFE=90°；
又∵∠DCE=90°，
∴C、F、D、E四點共圓，
∴∠CFD=∠CED=45°，
∴∠CFE=∠CFD+∠DFE
=45°+90°
=135°．
分析：（1）先證明∠ACD=∠BCE，再根據邊角邊定理證明△ACD≌△BCE，然后根據全等三角形對應邊相等和對應角相等解答；
（2）根據（1）的思路證明△ACD和△BCE全等，再根據全等三角形對應邊相等得BE=AD，對應角相等得∠DAC=∠DBF，又AC⊥CD，所以AF⊥BF，從而可以得到C、E、F、D四點共圓，根據同弧所對的圓周角相等即可求出∠CFE=∠CDE=45°；
（3）同（2）的思路，證明C、F、D、E四點共圓，得出∠CFD=∠CED=45°，而∠DEF=90°，所以∠CFE的度數即可求出．
點評：本題綜合考查了等邊對等角的性質，三角形全等的判定和全等三角形的性質，四點共圓以及同弧所對的圓周角相等的性質，需要熟練掌握并靈活運用．