Question

如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以OA的長為半徑的⊙O與AD、AC分別交于點E、F，且∠ACB=∠DCE．
（1）判斷直線CE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若AB=

2

，BC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）直線CE與⊙O相切．…（1分）
理由：連接OE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD，CD=AB，…（2分）
∴∠DCE+∠DEC=90°，∠ACB=∠DAC，
又∠DCE=∠ACB，
∴∠DEC+∠DAC=90°，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠DAC，
∴∠DEC+∠OEA=90°，
∴∠OEC=90°，
∴OE⊥EC，…（3分）
∵OE為圓O半徑，
∴直線CE與⊙O相切；…（4分）

（2）∵∠B=∠D，∠DCE=∠ACB，
∴△CDE∽△CBA，…（5分）
∴

BC

DC

=

AB

DE

，…（6分）
又CD=AB=

2

，BC=2，
∴DE=1
根據勾股定理得EC=

3

，
又AC=

AB2+BC2

=

6

，…（7分）
設OA為x，則（

3

）²+x²=（

6

-x）²，
解得x=

6

4

，
∴⊙O的半徑為

6

4

．…（8分）