Question

如圖，等邊△ABC的邊長為6，BC在x軸上，BC邊上的高線AO在y軸上，直線l繞點A轉動（與線段BC沒有交點）．設與AB、l、x軸相切的⊙O₁的半徑為r₁，與AC、l、x軸相切的⊙O₂半徑為r₂
（1）求兩圓的半徑之和；
（2）探索直線l繞點A轉動到什么位置時兩圓的面積之和最小？最小值是多少？
（3）若r1-r2=

3

，求經過點O₁、O₂的一次函數解析式．

Answer 1

分析：（1）本小題先根據切線的性質得到EF的長，再依據銳角三角函數求出EB+FC的值，進而解決問題；
（2）解決本題的關鍵就是求出兩圓之和和r₁之間的函數關系式，根據二次函數的極值解決問題；
（3）本小題主要用待定系數法求出一次函數的解析式．

解答：解：（1）解法1：設切點分別為M、N、E、F、P、Q，由切線定義，可得AM=AP，AN=AQ，EB=BP，FC=CQ，MN=EF，
∴MN+EF=18，MN=EF，
∴EF=9，
∴EB+FC=9-6=3，
∵∠EBP=120°，
∴∠EBO₁=60°，
∴r₁=

3

EB，
同理r₂=

3

CF，
∴r₁+r₂=

3

（EB+FC）=3

3

，
解法2：∵∠EBP=120°，
∴∠EBO₁=60°，
∴EB=PB=

3

3

r1，同理CF=CQ=

3

3

r2，
∴由EF=MN得：

3

3

r1+6+

3

3

r2=（6-

3

3

r1）+（6-

3

3

r2）
∴r₁+r₂=3

3

評分參考：①利用Rt△解得r與切線關系（2分）；②得出結果r₁+r₂=3

3

，（2分）

（2）兩圓面積之和S=π

r

2 1

+π(3

3

-r1)2=2π[(r1-

3 3

2

)2+

27

4

]，（2分）
∴當r1=

3 3

2

時，面積之和最小，這時r₁=r₂，直線l∥x軸，（1分）
面積和的最小值為

27

2

π；（1分）

（3）由r₁+r₂=3

3

，r₁-r₂=

3

，解得O1(-5，2

3

)，O2(4，

3

)，（2分）
直線O₁O₂解析式為y=-

3

9

x+

13 3

9

．（2分）

點評：本題主要考查學生對圓的切線性質及二次函數相關知識的掌握程度，難度比較大，關鍵是通過圓的切線性質的應用及待定系數法．