Question

已知拋物線y=-

1

2

x2+bx+4與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和B，已知A點坐標為（4，0）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖，連接AB，M為AB的中點，∠PMQ在AB的同側以M為中心旋轉，且∠PMQ=45°，MP交y軸于點C，MQ交x軸于點D．設AD的長為m（m＞0），BC的長為n，求n和m之間的函數關系式．
（3）若拋物線y=-

1

2

x2+bx+4上有一點F（-k-1，-k²+1），當m，n為何值時，∠PMQ的邊過點F？

Answer 1

（1）將點A（4，0）代入拋物線解析式可得：0=-

1

2

×4²+4b+4，
解得：b=1，
故拋物線解析式為y=-

1

2

x²+x+4；

（2）拋物線y=-=-

1

2

x²+x+4與x軸的交點為A（4，0），與y軸的交點為B（0，4），
則AB=4

2

，AM=BM=2

2

，
在∠PMQ繞點M在AB同側旋轉過程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
在直線AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°，
則∠BCM=∠AMD，
故△BCM∽△AMD，
則

BC

AM

=

BM

AD

，即

n

2 2

=

2 2

m

，n=

8

m

，
故n與m之間的函數關系式為n=

8

m

（m＞0）．

（3）∵F（-k-1，-k²+1）在y=-

1

2

x²+x+4上，
∴-

1

2

（-k-1）²+（-k-1）+4=-k²+1，
化簡得，k²-4k+3=0，
解得：k₁=1，k₂=3，
即F₁（-2，0）或F₂（-4，-8），
①MF過點M（2，2）和F₁（-2，0），設MF為y=kx+b，
則

2k+b=2 -2k+b=0

，
解得：

k= 1 2 b=1

，
故直線MF的解析式為y=

1

2

x+1，
直線MF與x軸的交點為（-2，0），與y軸交點為（0，1），
若MP過點F（-2，0），則n=4-1=3，m=

8

3

，
若MQ過點F（-2，0），則m=4-（-2）=6，n=

4

3

，
②MF過點M（2，2）或點F₁（-4，-8），設MF為y=kx+b，
則

2k+b=2 -4k+b=-8

，
解得：

k= 5 3 b=- 4 3

，
故直線MF的解析式為y=

5

3

x-

4

3

，
直線MF與x軸的交點為（

4

5

，0），與y軸交點為（0，-

4

3

），
若MP過點F（-4，-8），則n=4-（-

4

3

）=

16

3

，m=

3

2

，
若MQ過點F（-4，-8），則m=4-

4

5

=

16

5

，n=

5

2

，
故當

m1= 8 3 n1=3

，

m2=6 n2= 4 3

，

m3= 3 2 n3= 16 3

或

m4= 16 5 n4= 5 2

時∠PMQ的邊過點F．