Question

閱讀下列材料，并解決后面的問題，在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，則
（1）過點A作AD⊥BC于D（如圖1），
則在Rt△ABD中，AD=

 

；（限用a、b、c、∠A、∠B、∠C中的元素來表示）
在Rt△ACD中，AD=

 

；
∴

 

=

 

∴

 

=

 

同理最后可得，

 

=

 

=

 

；
（2）用尺規畫△ABC的外接圓⊙O，半徑為r（圖2），請你另用不同的方法證明以上結論；并寫出上述結論與△ABC外接圓直徑的關系．
（3）應用：△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，b=

2

，則a=

 

，外接圓半徑r=

 

．

Answer 1

分析：（1）根據正弦的定義寫出，然后再等量代換進行整理；
（2）過點C作直徑交⊙O于點D，連接BD，根據同弧所對的圓周角相等可得∠D=∠A，直徑所對的圓周角是直角可得∠DBC=90°，在Rt△BDC中表示出sinD，也就是sinA，然后代入

a

sinA

整理即可，同理可證其它兩個也成立；
（3）代入上述結論計算即可．

解答：（1）解：AD=c•sinB，
AD=b•sinC，
c•sinB=b•sinC，

b

sinB

=

c

sinC

，
同理可得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

；

（2）證明：如圖，點C作直徑CD交⊙O于點D，連接BD，
∴∠A=∠D（同弧所對的圓周角相等），
∠DBC=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴sinA=sinD，sinD=

a

2r

，
∴

a

sinA

=

a

a 2r

=2r，
同理可證：

b

sinB

=2r，

c

sinC

=2r，
∴

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2r；

（3）解：∵

a

sinA

=

b

sinB

，∠A=30°，∠B=45°，b=

2

，
∴

a

sin30°

=

2

sin45°

，
解得a=

2

×

1 2

2 2

=1，
∵

b

sinB

=2r，
∴

2

sin45°

=2r，
解得r=1，
故答案為：a=1，r=1．

點評：本題考查了解直角三角形，主要利用了正弦的定義，（2）的證明作出輔助性，構造出以直徑為斜邊的直角三角形是解題的關鍵，也是難點，希望同學們要多動腦筋，從題目的條件與結論入手考慮問題．