Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D．求作∠ABC的平分線，分別交AD，AC于P，Q兩點，并證明AP=AQ．（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

Answer 1

【答案】作圖見解析；證明見解析.

【解析】試題分析：根據角平分線的性質作出BQ即可．先根據垂直的定義得出∠ADB=90°，故∠BPD+∠PBD=90°．
再根據余角的定義得出∠AQP+∠ABQ=90°，根據角平分線的性質得出∠ABQ=∠PBD，再由∠BPD=∠APQ可知∠APQ=∠AQP，據此可得出結論．

試題解析：BQ就是所求的∠ABC的平分線，P、Q就是所求作的點．

證明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BPD+∠PBD=90°．
∵∠BAC=90°，
∴∠AQP+∠ABQ=90°．
∵∠ABQ=∠PBD，
∴∠BPD=∠AQP．
∵∠BPD=∠APQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴AP=AQ．