Question

已知：如圖，為的弦，于，交于點，于，.

小題1:⑴求證：為的切線；
小題2:⑵當時，求陰影部分的面積.

Answer 1

小題1:
∵BC為⊙O的弦，OA⊥BC于E，
∴BE=CE。
∴AC=AB。
∴∠CBA=∠BCA，而AD⊥AC，∠D=2∠B=60°。
∴∠BCA=30°，∠ACD=30°。
∴∠EAC=60°。
∴∠OCA=60°。
∴∠OCD=90°。
∴CD為⊙O的切線。
小題2:2

分析：
（1）連OC，由垂徑定理得到AB=AC，這樣可求出∠OCA和∠ACD，就可得到∠OCD=90°。
（2）通過圖形變換，陰影部分的面積等于三角形ADC的面積，求出△ACD的面積即可。
解答：
（1）證明：
∵BC為⊙O的弦，OA⊥BC于E，
∴BE=CE。
∴AC=AB。
∴∠CBA=∠BCA，而AD⊥AC，∠D=2∠B=60°。
∴∠BCA=30°，∠ACD=30°。
∴∠EAC=60°。
∴∠OCA=60°。
∴∠OCD=90°。
∴CD為⊙O的切線。
（2）∵AB=AC，
∴弓形AB和弓形AC的面積相等。
∴陰影部分的面積=直角三角形ADC的面積。
又∵BC=6，
∴CE=3．
在直角三角形CEA中，∠ACE=30°，
∴AC=2。
在直角三角形CDA中，∠ACD=30°，
∴AD=2。
所以三角形ADC的面積等于2，即陰影部分的面積為2。
點評：熟練掌握切線的判定定理，記住含30°的直角三角形三邊的比為1：：2；學會把不規則的幾何圖形轉化為規則的幾何圖形。