Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑CD垂直于不過圓心O的弦AB，垂足為點N，連接AC，點E在AB上，且AE=CE．

（1）求證：AC2=AEAB；

（2）過點B作⊙O的切線交EC的延長線于點P，試判斷PB與PE是否相等，并說明理由；

（3）設⊙O半徑為4，點N為OC中點，點Q在⊙O上，求線段PQ的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）PB=PE；（3）．

【解析】

試題分析：（1）證明△AEC∽△ACB，列比例式可得結論；

（2）如圖2，證明∠PEB=∠COB=∠PBN，根據等角對等邊可得：PB=PE；

（3）如圖3，先確定線段PQ的最小值時Q的位置：因為OQ為半徑，是定值4，則PQ+OQ的值最小時，PQ最小，當P、Q、O三點共線時，PQ最小，先求AE的長，從而得PB的長，最后利用勾股定理求OP的長，與半徑的差就是PQ的最小值．

試題解析：（1）如圖1，連接BC，∵CD為⊙O的直徑，AB⊥CD，∴，∴∠A=∠ABC，∵EC=AE，∴∠A=∠ACE，∴∠ABC=∠ACE，∵∠A=∠A，∴△AEC∽△ACB，∴，∴AC2=AEAB；

（2）PB=PE，理由是：

如圖2，連接OB，∵PB為⊙O的切線，∴OB⊥PB，∴∠OBP=90°，∴∠PBN+∠OBN=90°，∵∠OBN+∠COB=90°，∴∠PBN=∠COB，∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，∠COB=2∠A，∴∠PEB=∠COB，∴∠PEB=∠PBN，∴PB=PE；

（3）如圖3，∵N為OC的中點，∴ON=OC=OB，Rt△OBN中，∠OBN=30°，∴∠COB=60°，∵OC=OB，∴△OCB為等邊三角形，∵Q為⊙O任意一點，連接PQ、OQ，因為OQ為半徑，是定值4，則PQ+OQ的值最小時，PQ最小，當P、Q、O三點共線時，PQ最小，∴Q為OP與⊙O的交點時，PQ最小，∠A=∠COB=30°，∴∠PEB=2∠A=60°，∠ABP=90°﹣30°=60°，∴△PBE是等邊三角形，Rt△OBN中，BN==，∴AB=2BN=，設AE=x，則CE=x，EN=﹣x，Rt△CNE中，，x=，∴BE=PB==，Rt△OPB中，OP= = =，∴PQ=﹣4=．則線段PQ的最小值是．