Question

（2013年四川眉山9分）在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分別交BD、AD于點E、F，連接BF．

（1）求證：△DEC∽△FDC；

（2）當F為AD的中點時，求sin∠FBD的值及BC的長度．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，

∴△DEC∽△FDC。

（2）∵F為AD的中點，AD∥BC，∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC。

∴FE：FC=1：3，∴。

設EF=x，則FC=3x，

∵△DEC∽△FDC，∴，即：6x²=12，解得：x=。

∴CF=3。

在Rt△CFD中，。

∴BC=2DF=2。

【解析】（1）根據題意可得∠DEC=∠FDC，利用兩角法即可進行相似的判定。

（2）根據F為AD的中點，可得FB=FC，根據AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，設EF=x，則EC=2x，利用（1）的結論求出x，在Rt△CFD中求出FD，繼而得出BC。

考點：矩形的性質，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，銳角三角函數定義，勾股定理。