Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，點D在AC上，點E在BC的延長線上，且BD＝DE.

（1）若點D是AC的中點，如圖1，求證：AD＝CE

（2）若點D不是AC的中點，如圖2，試判斷AD與CE的數量關系，并證明你的結論：（提示：過點D作DF∥BC，交AB于點F）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AD=CE，證明見解析.

【解析】分析：（1）求出∠E=∠CDE，推出CD=CE，根據等腰三角形性質求出AD=DC，即可得出答案；（2）過D作DF∥BC，交AB于F，證△BFD≌△DCE，推出DF=CE，證△ADF是等邊三角形，推出AD=DF，即可得出答案．

本題解析：

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，∵D為AC中點，∴∠DBC=30°，AD=DC，∵BD=DE，∴∠E=∠DBC=30°∵∠ACB=∠E+∠CDE，

∴∠CDE=30°=∠E，∴CD=CE，∵AD=DC，∴AD=CE；

（2）AD=CE，如圖2，過D作DF∥BC，交AB于F，

則∠ADF=∠ACB=60°，∵∠A=60°，∴△AFD是等邊三角形，

∴AD=DF=AF，∠AFD=60°，∴∠BFD=∠DCE=180°﹣60°=120°，

∵DF∥BC，∴∠FDB=∠DBE=∠E，

在△BFD和△DCE中，∴△BFD≌△DCE，∴CE=DF=AD，即AD=CE．