Question

如圖，直線AC∥BD，連結AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個部分，規定：線上各點不屬于任何部分．當動點P落在某個部分時，連結PA、PB，構成∠PAC、∠APB、∠PBD三個角． (提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是0°)

1.當動點P落在第①部分時，有∠APB＝∠PAC＋∠PBD，請說明理由；

2.當動點P落在第②部分時，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？

3.當動點P在第③部分時，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之間的關系，直接寫出你發現的結論．

 

Answer 1

 

1.過點P作直線AC的平行線（如圖），易知∠1=∠PAC，∠2=∠PBD，

又∵∠APB=∠1+∠2，

∴∠APB=∠PAC+∠PBD．

2.不成立．

過點P作AC的平行線PQ，∠APB=∠1+∠2，

∵直線AC∥BD，

∴∠PAC+∠1=180°，∠PBD+∠2=180°，

∴∠PAC+∠1+∠PBD+∠2=360°，

故∠APB=∠PAC+∠PBD不成立．（

3.設射線BA將區域③分成Ⅰ、Ⅱ兩部分（如左圖），

①若點P位于第Ⅰ部分（如中圖），則∠PBD=∠3，∠PAC+∠APB=∠3，

所以∠APB=∠PBD-∠PAC，

②若點P位于第Ⅱ部分（如右圖），則∠PBD=∠6+∠ABD，∠PAC=∠4+∠5，∠ABD=∠5，

∴∠PAC-∠PBD=∠4-∠6，

而∠6+∠APB=∠4，

∴∠APB=∠PAC-∠PBD．

③P落在射線BA上時，∠PAC=∠PBD，∠APB=0°．

解析:

1.過點P作AC的平行線，根據平行線的性質將∠PAC，∠PBD等量轉化，證出結論．

2.過點P作AC的平行線PQ，∠APB=∠APQ+∠QPB，∠PAC與∠APQ是一對同旁內角，∠QPB與∠PBD也是一對同旁內角，根據兩直線平行，同旁內角互補，發現三個角的和是360度．

3.根據BA的延長線上，或兩側分別解答．