Question

（2007•資陽）如圖，已知拋物線P：y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在x軸的正半軸上），與y軸交于點C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點F、G分別在線段BC、AC上，拋物線P上部分點的橫坐標對應的縱坐標如下：

x	…	-3	-2	1	2	…
y	…		-4			…

（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）若點D的坐標為（m，0），矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數關系，并指出m的取值范圍；
（3）當矩形DEFG的面積S取最大值時，連接DF并延長至點M，使FM=k•DF，若點M不在拋物線P上，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圖表可以得到，拋物線經過的四點的坐標，根據待定系數法，設y=ax²+bx+c把其中三點的坐標，就可以解得函數的解析式．進而就可以求出A、B、C的坐標．
（2）易證△ADG∽△AOC，AD=2-m，根據相似三角形的對應邊的比相等，就可以用m表示出DG的長，再根據△BEF∽△BOC，就可以表示出BE，就可以得到OE，因而ED就可以表示出來．因而S與m的函數關系就可以得到．
（3）當矩形DEFG的面積S取最大值時，就是函數的值是最大值時，根據二次函數的性質就可以求出相應的m的值．則矩形的四個頂點的坐標就可以求出，根據待定系數法就可以求出直線DF的解析式．就可以求出直線DF與拋物線的交點的坐標，根據FM=k•DF，就可以表示出M的坐標，把M的坐標代入函數就可以得到一個關于k的方程，求出k的值，判斷是否滿足函數的解析式．
解答：解：（1）解法一：設y=ax²+bx+c（a≠0），
任取x，y的三組值代入，求出解析式y=x²+x-4，
令y=0，求出x₁=-4，x₂=2；
令x=0，得y=-4，
∴A、B、C三點的坐標分別是A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）．
解法二：由拋物線P過點（1，-），（-3，-）可知，
拋物線P的對稱軸方程為x=-1，
又∵拋物線P過（2，0）、（-2，-4），
∴由拋物線的對稱性可知，
點A、B、C的坐標分別為A（2，0），B（-4，0），C（0，-4）．

（2）由題意，=，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，
又=，EF=DG，得BE=4-2m，
∴DE=3m，
∴S_DEFG=DG•DE=（4-2m）3m=12m-6m²（0＜m＜2）．

（3）∵S_DEFG=12m-6m²（0＜m＜2），
∴m=1時，矩形的面積最大，且最大面積是6．
當矩形面積最大時，其頂點為D（1，0），G（1，-2），F（-2，-2），E（-2，0），
設直線DF的解析式為y=kx+b，易知，k=，b=-，
∴y=x-，
又可求得拋物線P的解析式為：y=x²+x-4，
令x-=x²+x-4，可求出x=．
設射線DF與拋物線P相交于點N，則N的橫坐標為，過N作x軸的垂線交x軸于H，
有===，
點M不在拋物線P上，即點M不與N重合時，此時k的取值范圍是
k≠且k＞0．
點評：本題主要考查了待定系數法求函數的解析式，并且本題還考查了函數交點坐標的求法．就是求函數的解析式組成的方程組．