Question

如圖，⊙的半徑為，正方形頂點坐標為，頂點在⊙上運動．
(1)當點運動到與點、在同一條直線上時,試證明直線與⊙相切；
(2)當直線與⊙相切時，求所在直線對應的函數關系式；
(3)設點的橫坐標為，正方形的面積為，求與之間的函數關系式，并求出的最大值與最小值．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）y=x+或y=x-；（3）S=13-5x，18，8.

試題分析：（1）易得∠ODC=90°，且CD與圓相交于點D，故直線CD與⊙O相切；
（2）分兩種情況，①D₁點在第二象限時，②D₂點在第四象限時，再根據相似三角形的性質，可得比例關系式，代入數據可得CD所在直線對應的函數關系；
（3）設D（x，y₀），有S=BD²=（26-10x）=13-5x；再根據x的范圍可得面積的最大最小值．
（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD⊥CD，
∵A、O、D在同一條直線上，
∴∠ODC=90°，
∴直線CD與⊙O相切．
（2）解：直線CD與⊙O相切分兩種情況：
①如圖1，

設D₁點在第二象限時，
過D₁作D₁E₁⊥x軸于點E₁，設此時的正方形的邊長為a，
∴（a-1）²+a²=5²，
∴a=4或a=-3（舍去），
∵Rt△BOA∽Rt△D1OE1
∴，
∴OE₁=，D₁E₁=，
∴D₁(?，)．
∴直線OD的函數關系式為y=?x．
∵AD₁⊥CD₁，
∴設直線CD₁的解析式為y=x+b，
把D₁(?，)代入解析式得b=；
∴函數解析式為y=x+．
②如圖2，

設D₂點在第四象限時，過D₂作D₂E₂⊥x軸于點E₂，
設此時的正方形的邊長為b，則（b+1）²+b²=5²，
解得b=3或b=-4（舍去）．
∵Rt△BOA∽Rt△D₂OE₂，
∴，
∴OE₂=，D₂E₂=，
∴D₂(，?)，
∴直線OD的函數關系式為y=?x．
∵AD₂⊥CD₂，
∴設直線CD₂的解析式為y=x+b，
把D₂(，?)代入解析式得b=-；
∴函數解析式為y=x-．
（3）解：設D（x，y₀），
∴y₀=±，
∵B（5，0），
∴BD²=（5-x）²+（1-x²）=26-10x，
∴S=BD²=（26-10x）=13-5x，
∵-1≤x≤1，
∴S最大值=13+5=18，S最小值=13-5=8．