Question

【題目】在同一平面內，若點P與△ABC三個頂點中的任意兩個頂點連接形成的三角形都是等腰三角形，則稱點P是△ABC的巧妙點.

（1）如圖1，求作△ABC的巧妙點P（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

（2）如圖2，在△ABC中，∠A=80°，AB=AC，求作△ABC的所有巧妙點P （尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并直接寫出∠BPC的度數是 .

（3）等邊三角形的巧妙點的個數有（ ）

A.2 B.6 C.10 D.12

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 40°,160° ，140° ，80°;(3)C.

【解析】

（1）根據題意可知，巧妙點必在某條邊的垂直平分線上，所以只需要作出兩邊的垂直平分線即可找到巧妙點；
（2）根據題意分別以A、C為圓心，AC為半徑畫圓，交BC邊的垂直平分線的點即為點P，連接兩圓的交點與BC邊的垂直平分線的交點也為點P，最后分類討論即可求∠BPC的度數；
（3）分別以等邊三角形的三條邊作其垂直平分線，再分別以等邊三角形的三個頂點為圓心，等邊三角形的邊長為半徑畫圓，分別與三條邊的垂直平分線的交點即為等邊三角形的巧妙點.

解：（1）作BC邊的垂直平分線：分別以B、C為圓心，大于的長為半徑畫弧，連接其圓弧的交點；
同理作AB邊的垂直平分線：分別以A、B為圓心，大于的長為半徑，連接其圓弧的交點；
AB邊的垂直平分線與BC邊的垂直平分線的交點即為巧妙點P.

∴點P為所求.

（2）作BC邊上的垂直平分線，再分別以A、C為圓心，AC為半徑畫圓，交BC邊的垂直平分線的交點從上至下依次為 ,連接兩圓的交點，交CB邊的垂直平分線的交點為， 即為所求.

①接,
∵,
∴,
∵
∴；
②連接,
∵是AC、BC邊的垂直平分線的交點，
∴
∴,

即：
③接 ,
∵,為BC邊上的垂直平分線，
∴
∵,
∴
∴；
④連接，
∵,,為BC邊上的垂直平分線,
∴,
∴,；
綜上所述的度數可能為.

（3）分別以等邊三角形的三條邊作其對應邊的垂直平分線，再分別以等邊三角形的三個頂點為圓心，等邊三角形的邊長為半徑畫圓，分別與三條邊的垂直平分線的交點和三條垂直平分線的交點即為等邊三角形的巧妙點.如下圖：巧妙點P有10個，故選C.