Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=2，BC=，且∠BAC=120°，點(diǎn)D是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合)，連接AD，作∠ADE=30°，DE交AC于點(diǎn)E．

（1）求證：∠BAD∠EDC；

（2）當(dāng)BD= 時(shí)，△ABD≌△EDC，并說(shuō)明理由．

（3）當(dāng)△ADE是直角三角形時(shí)，求AD的長(zhǎng)？

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析；（3）或1

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理得出∠B=30°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）先求出DC的長(zhǎng)，可得到AB=DC．根據(jù)ASA即可證明△ABD≌△EDC；

（3）分兩種情況討論：①當(dāng)∠DAE=90°時(shí)，△CAD是含30°角的直角三角形，可得出AC=AD=2，求出AD的長(zhǎng)即可．

②當(dāng)∠DEA=90°時(shí)，∠DAE=∠BAD=60°，得到△ABD是含30°角的直角三角形，即可得到AD的長(zhǎng)．

（1）∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°．

又∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．

又∵∠ADE=30°，∴∠BAD=∠EDC．

（2）當(dāng)BD=時(shí)，△ABD≌△EDC．理由如下：

∵BD=，BC=，∴DC==2，∴AB=DC．

在△ABD和△EDC中，∵∠B=∠C，AB=DC，∠BAD=∠EDC，∴△ABD≌△EDC．

（3）①當(dāng)∠DAE=90°時(shí)．

∵∠C=30°，∴AC=AD=2，∴AD==．

②當(dāng)∠DEA=90°時(shí)，∠DAE=∠BAD=60°．

又∵∠B=30°，∴∠ADB=90°，∴AD=AB=1．

綜上所述：當(dāng)△ADE 是直角三角形時(shí)，AD=或1．