Question

在平面直角坐標系中，已知二次函數y=a（x-1）²+k的圖象與x軸相交于點A，B，頂點為C，點D在這個二次函數圖象的對稱軸上．若四邊形ACBD是一個邊長為2且有一個內角為60°的菱形．求此二次函數的表達式．

Answer 1

分析：根據題意，畫出圖形，可得以下四種情況：
（1）以菱形長對角線兩頂點作為A、B，且拋物線開口向上；
（2）以菱形長對角線兩頂點作為A、B，且拋物線開口向下；
（3）以菱形短對角線兩頂點作為A、B，且拋物線開口向上；
（4）以菱形短對角線兩頂點作為A、B，且拋物線開口向下，
解答時都利用四邊形ACBD是一個邊長為2且有一個內角為60°的條件根據解直角三角形的相關知識解答．

解答：解：本題共有4種情況．
設二次函數的圖象的對稱軸與x軸相交于點E．
（1）如圖①，
當∠CAD=60°時，
因為ACBD是菱形，一邊長為2，
所以DE=1，BE=

3

，（1分）
所以點D的坐標（1，1），點C的坐標為（1，-1），
解得k=-1，a=

1

3

．
所以y=

1

3

（x-1）²-1．（2分）


（2）如圖②，當∠ACB=60°時，由菱形性質知點A的坐標為（0，0），點C的坐標為（1，-

3

）．
解得k=-

3

，a=

3

，
所以y=

3

（x-1）²-

3

．（4分）
同理可得：y=-

1

3

（x-1）²+1，y=-

3

（x-1）²+

3

．（8分）
所以符合條件的二次函數的表達式有：y=

1

3

（x-1）²-1，y=

3

（x-1）²-

3

，
y=-

1

3

（x-1）²+1，y=-

3

（x-1）²+

3

．

點評：解答此題不僅要熟知二次函數的性質，還要熟悉菱形的性質，結合二次函數圖上點的特點，根據解直角三角形的知識，求出相應的邊長，得到B、C的坐標，代入解析式求出a的值即可．