Question

【題目】如圖，△ABC的高AD與中線BE相交于點F，過點C作BE的平行線、過點F作AB的平行線，兩平行線相交于點G，連接BG．

（1）若AE=2.5，CD=3，BD=2，求AB的長；

（2）若∠CBE=30°，求證：CG=AD+EF．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析．

【解析】

（1）BE是△ABC的中線，則AC=5，由勾股定理求出AD的長，再由勾股定理求得AB的長；
（2）過點E作EM∥FG，作EN∥AD，先得出EN=AD，然后證明EN=BE，從而有AD=BE．再證明△ABE≌△EMC，得出BE=MC，再推導出四邊形EFGM是平行四邊形，得出EF=GM，繼而可得出結論．

（1）解：∵BE是△ABC的中線，
∴AE=EC=2.5，∴AC=5，
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，

，

；

（2）證明：如圖，過點E作EM∥FG，作EN∥AD．

∵BE是中線，即E為AC的中點，∴EN為△ACD的中位線，∴EN=AD．

∵AD是高，∴EN⊥BC，∴∠ENB=90°．

∵∠CBE=30°，∴EN=BE．

∴AD=BE．

∵FG∥AB，EM∥FG，∴EM∥AB，

∴∠BAE=∠MEC．

∵EB∥CG，∴∠AEB=∠ECM．

在△ABE和△EMC中，

∵，

∴△ABE≌△EMC（ASA），

∴BE=MC．

∵EM∥FG，BE∥GC，

∴四邊形EFGM是平行四邊形，

∴EF=GM．

∴GC=GM+MC=EF+BE=EF+AD．