Question

【題目】如圖1，地面BD上兩根等長立柱AB，CD之間懸掛一根近似成拋物線的繩子．

（1）求繩子最低點離地面的距離；

（2）因實際需要，在離AB為3米的位置處用一根立柱MN撐起繩子（如圖2），使左邊拋物線F1的最低點距MN為1米，離地面1.8米，求MN的長；

（3）將立柱MN的長度提升為3米，通過調整MN的位置，使拋物線F2對應函數的二次項系數始終為，設MN離AB的距離為m，拋物線F2的頂點離地面距離為k，當2≤k≤2.5時，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）m；（2）2.1m；（3）4≤m≤．

【解析】

試題分析：（1）直接利用配方法求出二次函數最值得出答案；

（2）利用頂點式求出拋物線F1的解析式，進而得出x=3時，y的值，進而得出MN的長；

（3）根據題意得出拋物線F2的解析式，得出k的值，進而得出m的取值范圍．

試題解析：（1）∵a=＞0，∴拋物線頂點為最低點，∵=，∴繩子最低點離地面的距離為：m；

（2）由（1）可知，BD=8，令x=0得y=3，∴A（0，3），C（8，3），由題意可得：拋物線F1的頂點坐標為：（2，1.8），設F1的解析式為：，將（0，3）代入得：4a+1.8=3，解得：a=0.3，∴拋物線F1為：，當x=3時，y=0.3×1+1.8=2.1，∴MN的長度為：2.1m；

（3）∵MN=DC=3，∴根據拋物線的對稱性可知拋物線F2的頂點在ND的垂直平分線上，∴拋物線F2的頂點坐標為：（，k），∴拋物線F2的解析式為：，把C（8，3）代入得：，解得：，∴k=，∴k是關于m的二次函數，又∵由已知m＜8，在對稱軸的左側，∴k隨m的增大而增大，∴當k=2時，，解得：，（不符合題意，舍去），當k=2.5時，，解得：，（不符合題意，舍去），∴m的取值范圍是：4≤m≤．