Question

【題目】對于任意正實數a、b，因為≥0，所以a﹣≥0，所以a+b≥，只有當a=b時，等號成立．

【獲得結論】在a+b≥2（a、b均為正實數）中，若ab為定值p，則a+b≥2，只有當a=b時，a+b有最小值2．

根據上述內容，回答下列問題：若m＞0，只有當m= 時，m+有最小值 ．

【探索應用】如圖，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），P為雙曲線上的任意一點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D．求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時四邊形ABCD的形狀．

Answer 1

【答案】（1）1，2；（2)見試題解析。

【解析】

試題分析：（1）根據題目所給信息可知m+≥2，且當m=時等號成立，可得出答案；

（2）可設P（x，），可表示出AC和BD，則四邊形ABCD的面積為S四邊形ABCD=2（x+）+12，再利用所給信息可得到其最小值，此時x=3，可得出AC=BD，可得出四邊形ABCD為菱形．

試題解析：（1）根據題目所給信息可知m+≥2，且當m=時等號，

∴當m=1時，m+≥2，即當m=1時，m+有最小值2，

故答案為：1，2；

（2）設P（x，），則C（x，0），D（0，），

∴CA=x+3，BD=+4，

∴S四邊形ABCD=CA×BD=（x+3）（+4），

化簡得：S=2（x+）+12，∵x＞0，＞0，∴x+≥2=6，

只有當x=，即x=3時，等號成立，∴S≥2×6+12=24．

∴S四邊形ABCD有最小值24，此時，P（3，4），C（3，0），D（0，4），

AB=BC=CD=DA=5，∴四邊形ABCD是菱形．