Question

（2013•麗水）如圖，點P是反比例函數y=

k

x

（k＜0）圖象上的點，PA垂直x軸于點A（-1，0），點C的坐標為（1，0），PC交y軸于點B，連結AB，已知AB=

5

．
（1）k的值是

-4

；
（2）若M（a，b）是該反比例函數圖象上的點，且滿足∠MBA＜∠ABC，則a的取值范圍是

0＜a＜2或

-11- 33

2

＜a＜

-11+ 33

2

．

Answer 1

分析：（1）設P（-1，t）．根據題意知，A（-1，0），B（0，2），C（1，0），由此易求直線BC的解析式y=-2x+2．把點P的坐標代入直線BC的解析式可以求得點P的坐標，由反比例函數圖象上點的坐標特征即可求得k的值；
（2）如圖，延長線段BC交拋物線于點M，由圖可知，當x＜a時，∠MBA＜∠ABC；作C關于直線AB的對稱點C′，連接BC′并延長BC′交雙曲線于點M′，當x＜a時，∠MBA＜∠ABC．

解答：解：（1）如圖，PA垂直x軸于點A（-1，0），
∴OA=1，可設P（-1，t）．
又∵AB=

5

，
∴OB=

AB2-OA2

=

5-1

=2，
∴B（0，2）．
又∵點C的坐標為（1，0），
∴直線BC的解析式是：y=-2x+2．
∵點P在直線BC上，
∴t=2+2=4
∴點P的坐標是（-1，4），
∴k=-4．
故填：-4；

（2）①如圖1，延長線段BC交雙曲線于點M．
由（1）知，直線BC的解析式是y=-2x+2，反比例函數的解析式是y=-

4

x

．
則

y=-2x+2 y=- 4 x

，
解得，

x=2 y=-2

或

x=-1 y=4

（不合題意，舍去）．
根據圖示知，當0＜a＜2時，∠MBA＜∠ABC；
②如圖，作C關于直線AB的對稱點C′，連接BC′并延長交雙曲線于點M′．
∵A（-1，0），B（0，2），
∴直線AB的解析式為：y=2x+2．
設CC′解析式為：y=-

1

2

x+b，
∵C（1，0），
∴b=

1

2

，
∴CC′解析式為：y=-

1

2

x+

1

2

，
∵AC=AC′=2，
∴設C′點橫坐標為：x，則縱坐標為：-

1

2

x+

1

2

，
∴（-x-1）²+（-

1

2

x+

1

2

）²=4
解得：x₁=-

11

5

，x₂=1（不合題意舍去），
∴C′（-

11

5

，

8

5

），則易求直線BC′的解析式為：y=

2

11

x+2，
∴

y= 2 11 x+2 y=- 4 x

，
解得：x₁=

-11+ 33

2

，x₂=

-11- 33

2

，
則根據圖示知，當

-11- 33

2

＜a＜

-11+ 33

2

時，∠MBA＜∠ABC．
綜合①②知，當0＜a＜2或

-11- 33

2

＜a＜

-11+ 33

2

時，∠MBA＜∠ABC．
故答案是：0＜a＜2或

-11- 33

2

＜a＜

-11+ 33

2

．

點評：本題綜合考查了待定系數法求一次函數的解析式，反比例函數圖象上點的坐標特征以及分式方程組的解法．解答（2）題時，一定要分類討論，以防漏解．另外，解題的過程中，利用了“數形結合”的數學思想．