Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中點，點E是線段AB上一動點，連結EM并延長交線段CD的延長線于點F．

（1）如圖1，求證：AE=DF；

（2）如圖2，過點M作MG⊥EF交線段BC于點G，若ME=MG，求證：BE=CG；

（3）如圖3，若AB=2，過點M作MG⊥EF交線段BC的延長線于點G．求線段AE長度的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）∴＜AE≤2．

【解析】

（1）根據矩形的性質得到∠EAM=∠FDM=90°，根據全等三角形的判定定理得到△AEM≌△DFM（ASA），由全等三角形的性質即可得到結論；

（2）如圖2，由ME=MG可得△MEG是等腰直角△，再由ME=MF可得△EFG也是等腰直角△，即，；由得，由、、，得△BEG≌△CGF（AAS），得BE=CG；

（3）根據四邊形ABCD是矩形，得到∠A＝∠ADC＝90°，等量代換得到∠AEM＝∠DMC，根據相似三角形的性質得到，代入數據求得AE＝，當E、B重合時，AE最長為2，于是得到結論．

（1）如圖1,

在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，

∵M是AD的中點，∴AM=DM，又∠AME=∠FMD，

在△AEM與△DFM中， ，

∴△AEM≌△DFM（ASA），∴AE=DF；

（2）如圖2，

∵ME=MG，MG⊥EF，

∴△MEG是等腰直角△；

同理，△EFG也是等腰直角△，

∴即，，

∴，

∴，

∵、、，

∴△BEG≌△CGF（AAS），

∴BE=CG；

（3）①當C、G重合時，如圖4，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADC=90°，

∴∠AME+∠AEM=90°，

∵MG⊥EF，

∴∠EMG=90°，

∴∠AME+∠DMC=90°，

∴∠AEM=∠DMC，

∴△AEM∽△DMC，

∴，

∴，

∴AE=，

∴＜AE≤．