Question

【題目】（新定義）：A、B、C 為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn) C 到 A 的距離是點(diǎn) C 到 B 的距離的 3 倍，我們就稱點(diǎn)

C 是（A，B）的幸運(yùn)點(diǎn)．

（特例感知）：

（1）如圖 1，點(diǎn) A 表示的數(shù)為﹣1，點(diǎn) B 表示的數(shù)為 3．表示 2 的點(diǎn) C 到點(diǎn) A 的距離是 3， 到點(diǎn) B 的距離是 1，那么點(diǎn) C 是（A，B）的幸運(yùn)點(diǎn)．

①（B，A）的幸運(yùn)點(diǎn)表示的數(shù)是 ；A．﹣1； B.0； C.1； D.2

②試說(shuō)明 A 是（C，E）的幸運(yùn)點(diǎn)．

（2）如圖 2，M、N 為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn) M 所表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn) N 所表示的數(shù)為 4，則（M，N）的幸點(diǎn)示的數(shù)為 ．

（拓展應(yīng)用）：

（3）如圖 3，A、B 為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn) A 所表示的數(shù)為﹣20，點(diǎn) B 所表示的數(shù)為 40．現(xiàn)有一只電子螞蟻 P 從點(diǎn) B 出發(fā)，以 3 個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn) A 停止．當(dāng) t 為何值時(shí)，P、A 和 B 三個(gè)點(diǎn)中恰好有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的幸運(yùn)點(diǎn)？

Answer 1

【答案】（1）①B，②見(jiàn)詳解；（2）7或2.5；（3）t為5秒，15秒，秒，秒.

【解析】

（1）①由題意可知，點(diǎn)0到B是到A點(diǎn)距離的3倍；②由數(shù)軸可知，AC=3，AE=1，可得AC=3AE；
（2）設(shè)【M，N】的幸運(yùn)點(diǎn)為P，T表示的數(shù)為p，由題意可得|p+2|=3|p-4|，求解即可；
（3）由題意可得，BP=3t，AP=60-3t，分四種情況討論：①當(dāng)P是【A，B】的幸運(yùn)點(diǎn)時(shí)，PA=3PB②當(dāng)P是【B，A】的幸運(yùn)點(diǎn)時(shí)，PB=3PA③當(dāng)A是【B，P】的幸運(yùn)點(diǎn)時(shí)，AB=3PA，④當(dāng)B是【A，P】的幸運(yùn)點(diǎn)時(shí)，AB=3PB．

解：（1）①由題意可知，點(diǎn)0到B是到A點(diǎn)距離的3倍，
即EA=1，EB=3，
故選B．
②由數(shù)軸可知，AC=3，AE=1，
∴AC=3AE，
∴A是【C，E】的幸運(yùn)點(diǎn)．
（2）設(shè)【M，N】的幸運(yùn)點(diǎn)為P，T表示的數(shù)為p，
∴PM=3PN，
∴|p+2|=3|p-4|，
∴p+2=3（p-4）或p+2=-3（p-4），
∴p=7或p=2.5；
故答案為7或2.5；
（3）由題意可得，BP=3t，AP=60-3t，
①當(dāng)P是【A，B】的幸運(yùn)點(diǎn)時(shí)，PA=3PB，
∴60-3t=3×3t，
∴t=5；
②當(dāng)P是【B，A】的幸運(yùn)點(diǎn)時(shí)，PB=3PA，
∴3t=3×（60-3t），
∴t=15；
③當(dāng)A是【B，P】的幸運(yùn)點(diǎn)時(shí)，AB=3PA，
∴60=3（60-3t）
∴t= ；
④當(dāng)B是【A，P】的幸運(yùn)點(diǎn)時(shí)，AB=3PB，
∴60=3×3t，
∴t=；
∴t為5秒，15秒，秒，秒時(shí)，P、A、B中恰好有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的幸運(yùn)點(diǎn)．