Question

某村王大爺家有一塊梯形形狀的稻田（如圖所示），已知：上底AD=40米，下底BC=60米，高h=30米，王大爺準備把這塊梯形形狀的稻田平均分給兩個兒子（面積相等）．
（1）分割方法有無數種，請你幫助王大爺設計兩種不同的分割方案，在圖1、圖2中分別畫出來，并說明理由；
（2）為了盡可能減少筑砌分割田坎的勞動量（只考慮田坎長度對工時的影響，不計其它因素），問：田坎應砌在什么位置最短？請在圖3中畫出來，并求出此時分割線的長度．

Answer 1

分析：（1）①利用上下底的中點分割，可分割成兩個上下底分別相等的梯形；
②連接BD，利用BD的中點O，沿AO和CO分割，即可分割成兩個面積相等的四邊形ABCO和ADCO；
（2）利用垂線段最短，所以可取①中分割線的中點，過該點作底的垂線段即可，此時該線段等于梯形的高．

解答：解：（1）方法一：分別取AD、BC的中點E、F，連接EF，線段EF就是所求作的分割線．
（2分）
理由：∵AE=ED，BF=FC，
∴S_ABEF=

1

2

（AE+BF）h=

1

2

（ED+FC）h=S_EFCD；（3分）

方法二：連接BD，在BD上取中點O，連接AO、CO，折線AOC可以把梯形分割為兩個面積相等的圖形．

理由：∵BO=OD，∴S_△ABO=S_△AOD，S_△BOC=S_△DOC，
∴S'_△ABO+S'_△BOC=S'_△AOD+S'_△DOC，
同理，連接AC，取中點O，連接BO、OD，折線BOD可以把梯形分割為兩個面積相等的圖形；（6分）

方法三：取CD的中點G，過G作FH∥AB，與BC交于F，與AD的延長線交于點H．

可證：S'_△DHG=S'_△CFG，則過AF中點O且不穿越△DHG或△CFG或G點的直線均可把梯形面積等分；
（注意：方法（1分），理由（2分），共6分）

（2）田坎應砌在經過EF中點且與AD、BC垂直的線段GH的位置時最短．

理由：∵O是EF的中點，∴△EOG≌△FOH，
∴S'_△EOG=S′_△FOH，∴S′_ABHG=S′_GHDC，
此時，最短線段GH的長度等于高，即為30米．（10分）

點評：本題需仔細分析題意，利用線段的中點即可解決問題．