Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點，且.點是線段上一點，交的延長線于點.

（1）如圖1，若交于點.點作，交的延長線于點，求證：；

（2）如圖2，若是的角平分線，交于點，交于點，求的值；

（3）如圖3，若交的延長線于點.請證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）根據全等三角形的判定和性質即可得到結論；
（2）作BH⊥OQ交OQ的延長線于H．先證明△OAE≌△BOH，推出OE=BH，AE=OH，再證明△OED≌△BHQ，推出DE=QH，推出AD-OQ=AE+DE-（OH-HQ）=2DE，于是得到結論；
（3）如圖3中，作OE平分∠AOB交AD于E．只要證明△AOE≌△OBC，推出OE=OC，再證明△ODE≌△ODC，推出∠ODE=∠ODC，由∠ODE=∠BDN，可得∠ODC=∠BDN，由此即可解決問題．

（1）證明：
∵BF⊥AD，DG⊥BF，OE∥BF，
∴∠DEA=∠OGB=90°，
∵∠OAE=∠DOE=∠OBG，OA=OB，
∴△AOE≌△BOG（AAS），
∴AE=BG；
（2）解：如圖2中，作BH⊥OQ交OQ的延長線于H．
∵AD是∠OAB的角平分線，
∴∠OAD=22.5°，
∴∠ADO=67.5°，
∵AD⊥OE，

∴∠BOH=∠OAD=22.5°，
∵OA=OB，∠AEO=∠H=90°，
∴△OAE≌△BOH（AAS），
∴OE=BH，AE=OH，
∵AF⊥OH，OH⊥BH，
∴∠ADO=∠OBH=67.5°，
∵∠OBA=45°，
∴∠HBQ=∠DOE=22.5°，
∵∠OED=∠H=90°，
∴△OED≌△BHQ，
∴DE=QH，
∴AD-OQ=AE+DE-（OH-HQ）=2DE，
∴．
（3）解：如圖3中，作OE平分∠AOB交AD于E．

∵OC∥AB，
∴∠COB=∠ABO=∠AOE=45°，
∵OA=OB，∠OAE=∠OBC，
∴△AOE≌△OBC（ASA），
∴OE=OC，
∵∠EOD=∠DOC，OD=OD，
∴△ODE≌△ODC（SAS），
∴∠ODE=∠ODC，
∵∠ODE=∠BDF，
∴∠ODC=∠BDF，
∵∠CDF+∠ODC+∠BDF=180°，
∴∠CDF+2∠BDF=180°．