Question

如圖，已知邊長為4的正方形ABCD，點E在AB上，點F在BC的延長線上，EF與AC交于點H，且AE=CF=m，則四邊形EBFD的面積為

16

；△AHE與△CHF的面積的和為

2m

（用含m的式子表示）．

Answer 1

分析：求四邊形EBFD的面積，需先證△AED≌△CFD，則四邊形EBFD的面積=正方形ABCD的面積；求△AHE與△CHF的面積的和，需作出這兩個三角形的高，并延長其中一條，證明兩條高的和為正方形的邊長即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠EAD=∠FCD=90°，
又∵AE=CF（已知）
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴四邊形EBFD的面積=正方形ABCD的面積=4×4=16；
（2）
如圖，過H點分別作HN⊥AB，HM⊥BC，垂足分別為M，N，并延長NH交CD于Q，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD，AB∥CD，
又∵HN⊥AB，
∴HQ⊥CD，
又∵HM⊥BC，
∴HM=HQ（角平分線上的任意一點到角的兩邊的距離相等）
∵S△AHE=

1

2

AE×NH，S△CEF=

1

2

CF×HM，AE=CF=m，HQ+HN=AB=4
∴S△AHE+S△CHF
=

1

2

﹙HQ+HM﹚×m
=

1

2

×4×m
=2m．
故答案為：16；2m．

點評：此題綜合考查了正方形的性質、全等三角形的判定以及面積計算等知識，要靈活應用，有難度．