Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，，把這個直角三角形繞頂點C旋轉后得到Rt△A'B'C，其中點B' 正好落在AB上，A'B'與AC相交于點D，那么    ．

Answer 1

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試題分析：作CH⊥AB于H，先在Rt△ABC中，根據余弦的定義得到cosB=，設BC=3x，則AB=4x，再根據勾股定理計算出AC=4x，在Rt△HBC中，根據余弦的定義可計算出BH=x，接著根據旋轉的性質得CA′=CA=4x，CB’=CB，∠A′=∠A，所以根據等腰三角形的性質有B′H=BH=x，則AB′=x，然后證明△ADB′∽△A′DC，再利用相似比可計算出B′D與DC的比值．
作CH⊥AB于H，如圖，

在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=，設BC=3x，則AB=5x，
AC==4x，
在Rt△HBC中，cosB=，而BC=3x，
∴BH=x，
∵Rt△ABC繞頂點C旋轉后得到Rt△A′B′C，其中點B′正好落在AB上，
∴CA′=CA=4x，CB′=CB，∠A′=∠A，
∵CH⊥BB′，
∴B′H=BH=x，
∴AB′=AB-B′H-BH=x，
∵∠ADB′=∠A′DC，∠A′=∠A，
∴△ADB′∽△A′DC，
∴AB’:A′C ="B’D:DC" ，即x:4x ="B′D:DC" ，
∴ ．
故答案為．