Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點E為線段OB上一點（不與O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于點C，作直徑CD，過點C的切線交DB的延長線于點P，作AF⊥PC于點F，連接CB．

（1）求證：AC平分∠FAB；

（2）求證：BC2=CECP；

（3）當AB=4且=時，求劣弧的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】（1）根據已知先證明∠ACF=∠ACE，再根據等角的余角相等即可證得；

（2）只要證明△CBE∽△CPB，可得即可解決問題；

（3）作BM⊥PF于M，則CE=CM=CF，設CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性質求出BM，求出tan∠BCM的值即可解決問題；

（1）∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，

∵∠BCP=∠BCE，

∴∠ACF=∠ACE，

∵∠AFC=90°，∠AEC=90°，

∴∠FAC=∠EAC，

即AC平分∠FAB；

（2）∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∵PF是⊙O的切線，CE⊥AB，

∴∠OCP=∠CEB=90°，

∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，

∴∠BCE=∠BCP，

∵CD是直徑，

∴∠CBD=∠CBP=90°，

∴△CBE∽△CPB，

∴，

∴BC2=CECP；

（3）如圖，作BM⊥PF于M．則CE=CM=CF，

設CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，

∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，

∴∠MCB=∠PBM，

∵CD是直徑，BM⊥PC，

∴∠CMB=∠BMP=90°，

∴△BMC∽△PMB，

∴，

∴BM2=CMPM=3a2，

∴BM=a，

∴tan∠BCM=，

∴∠BCM=30°，

∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°，

∴的長=．