Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，DA⊥AB，DO及DO的延長線與⊙O分別相交于點E、F，EB與CF相交于點G．

（1）求證：DA=DC；

（2）⊙O的半徑為3，DC=4，求CG的長．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：連接OC，

∵DC是⊙O切線，∴OC⊥DC。

∵OA⊥DA，∴∠DAO=∠DCO=90°。

在Rt△DAO和Rt△DCO中，

∵DO=DO,OA=OC,

∴Rt△DAO≌Rt△DCO（HL）。

∴DA=DC.

（2）連接BF、CE、AC，設AC與OD相交于點M，

由切線長定理得：DC=DA=4，DO⊥AC，

∴DO平分AC。

在Rt△DAO中，AO=3，AD=4，

由勾股定理得：DO=5。

∵由三角形面積公式得：DAAO=DOAM，

則AM=。

同理CM=AM=。∴AC=。

∵AB是直徑，∴∠ACB=90°。

由勾股定理得：。

∵由圓周角定理得∠GCB=∠GEF，∠GFE=∠GBC，∴△BGC∽△EGF。

∴。

在Rt△OMC中，CM=，OC=3，由勾股定理得：OM=。

在Rt△EMC中，CM=，ME=OE﹣OM=3﹣=，由勾股定理得：CE=。

在Rt△CEF中，EF=6，CE=，由勾股定理得：CF=。

∵CF=CG+GF，，∴CG=CF=×=。

【解析】

試題分析：（1）連接OC，∠DAO=∠DCO=90°，根據HL證Rt△DAO≌Rt△DCO，根據全等三角形的性質推出即可。

（2）連接BF、CE、AC，由切線長定理求出DC=DA=4，求出DO=5，CM、AM的長，由勾股定理求出BC長，根據△BGC∽△EGF求出，則CG=CF；利用勾股定理求出CF的長，則CG的長度可求得。