Question

【題目】如圖，AB為半圓的直徑，點C是弧AD的中點，過點C作BD延長線的垂線交于點E．
（1）求證：CE是半圓的切線；
（2）若OB=5，BC=8，求CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接AD、OC，OC交AD于F．

∵ = ，

∴OC⊥AD，

∴AF=FD，∵OA=OB，

∴OF∥BD，即OC∥BE，

∵EC⊥EB，

∴EC⊥OC，

∴EC是⊙O的切線．

（2）解：連接AC，作OH⊥AC于H．

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴AC= = =6，

∵OH⊥AC，

∴AH=CH=3，OH= =4，

∵S△AOC= ACOH= COAF，

∴AF= = ，

∴DF=AF= ，

∵∠E=∠ECF=∠CFD=90°，

∴四邊形ECFD是矩形，

∴EC=DF= ．

【解析】（1）欲證明EC是⊙O的切線，只要證明EC⊥OC，只要證明OC∥EB即可．（2）連接AC，作OH⊥AC于H，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC，再求出OH，利用S△AOC= ACOH= COAF求出AF，再證明CE=DF=AF即可解決問題．