Question

如圖1，拋物線y=x²-4x+c交x軸于點A和B（-1，0）交y軸于點C，且拋物線的對稱軸交x軸于點D
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）若點E在拋物線上，且位于第四象限，當四邊形ADCE面積最大時，求點E的坐標；
（3）如圖2，在拋物線上是否存在這樣的點P，使△PAB中的內角中有一邊與x軸所夾銳角的正切值為

1

2

？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意把點B的坐標代入函數解析式里得出c的值．
（2）連接OE，設四邊形ADEF面積為S．令x=0以及y=0求出A、C的坐標．當m=

5

2

時，S有最大值．求出點E的坐標．
（3）本題要依靠輔助線的幫助．假設存在P點．利用三角函數求出各線段的等量關系．

解答：解：（1）∵B（-1，0）在y=x²-4x+c上，
∴（-1）²-4（-1）+c
∴c=-5
∴y=x²-4x-5  2分

（2）連接OE，由題意設四邊形ADEF面積為S，
E（m，m²-4m-5）（0＜m＜5）3分
∵y=x²-4x-5
∴對稱軸為直線x=2
∴D（2，0），DO=2
令x=0，得y=-5，
令y=0，得x₁=-1，x₂=5
∴A（5，0），C（0，-5）
∴AO=CO=5    4分
∴S=S_{四邊形AOCE}-S_△COD=S_△COE+S_△AOF-S_△COD=

1

2

CO|x_E|-

1

2

AO|y_E|-

1

2

CO．DO
=-

5

2

m²+

25

2

m+

15

2

即S=-

5

2

（m-

5

2

）²+

185

8

（0＜m＜5）5分
∴當m=

5

2

時，Smax=

185

8

此時m²-4m-5=-

35

4

E（

5

2

，-

35

4

）   6分

（3）（I）存在P₁（

11

2

，

13

4

），P₂（

9

2

，-

11

4

），P₃（-

3

2

，

13

4

），P₄（-

1

2

，

11

4

）
（II）理由：假設存在P（m，m²-4m-5）
由題意得，tan∠PBA=

1

2

或tan∠PAB=

1

2

①當tan∠PBA=

1

2

，且P在第一象限時（如圖2）
過P點作PH⊥x軸于H
∵tan∠PBA=

PH

BH

=

1

2

∴BH=2PH，
又P（m，m²-4m-5）（m＞0，m²-4m-5＞0）
B（-1，0）
∴BH=m+1，PH=m²-4m-5
∴m+1=2（m²-4m-5）
∴m₁=-1（舍）  m₂=

11

2

此時m²-4m-5=

13

4

∴P₁（

11

2

，

13

4

）7分
②當tan∠PBA=

1

2

，且P在第一象限時（如圖2）
與①同理BH=2PH，BH=m+1，PH=-（m²-4m-5）
∴m+1=-2（m²-4m-5）
∴m₁=-1（舍） m₂=

9

2

此時m²-4m-5=-

11

4

∴p₂（

9

2

，-

11

4

）8分
③當tan∠PBA=

1

2

，且P在第二象限時（如圖3）
過點P作PK⊥x軸于K
∵tan∠PBA=

PK

AK

=

1

2

，
AK=2PK
∴AK=5-m，PK=m²-4m-5
∴5-m=2（m²-4m-5）
∴m₁=5（舍）  m₂=

3

2

此時m²-4m-5=

13

4

∴P₃（-

3

2

，

13

4

）9分
④當tan∠PBA=

1

2

，且P在第三象限時（如圖3）
與③同理：AK=2PK，AK=5-m，PK=-（m²-4m-5）
∴5-m=-（m²-4m-5）
∴m₁=5（舍） m₂=

1

2

此時m²-4m-5=-

11

4

∴p₄（-

1

2

，-

1

4

）
故存在P₁（

11

2

，

13

4

），p₂（

9

2

，-

11

4

），P₃（-

3

2

，

13

4

），p₄（-

1

2

，-

1

4

）．10分

點評：本題難度較大．考查的是三角函數的有關知識點，二次函數的靈活運用．