Question

【題目】如圖1，在直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），以OA為邊在第四象限內作等邊△AOB，點C為x軸的正半軸上一動點（OC＞1），連接BC，以BC為邊在第四象限內作等邊△CBD，直線DA交y軸于點E．

（1）試問△OBC與△ABD全等嗎？并證明你的結論；

（2）隨著點C位置的變化，點E的位置是否會發生變化？若沒有變化，求出點E的坐標；若有變化，請說明理由；

（3）如圖2，以OC為直徑作圓，與直線DE分別交于點F、G，設AC=m，AF=n，用含n的代數式表示m

Answer 1

【答案】(1)兩個三角形全等,理由見解析;（2）見解析;（3）m=．

【解析】

（1）由等邊三角形的性質知，OBA=∠CBD=60°，易得∠OBC=∠ABD，又有OB=AB，BC=BD故有△OBC≌△ABD；

（2）由1知，△OBC≌△ABD∠BAD=∠BOC=60°，可得∠OAE=60°，在Rt△EOA中，有EO=OAtan60°=，即可求得點E的坐標；

（3）由相交弦定理知1m=nAG，即AG=，由切割線定理知，OE2=EGEF，在Rt△EOA中，由勾股定理知，AE==2，故建立方程：（）2=（2-）（2+n），就可求得m與n關系．

（1）兩個三角形全等．

∵△AOB、△CBD都是等邊三角形，

∴OBA=∠CBD=60°，

∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，

即∠OBC=∠ABD；

∵OB=AB，BC=BD，

△OBC≌△ABD；

（2）點E位置不變．

∵△OBC≌△ABD，

∴∠BAD=∠BOC=60°，

∠OAE=180°﹣60°﹣60°=60°，

在Rt△EOA中，EO=OAtan60°=，

或∠AEO=30°，得AE=2，

∴OE=，

∴點E的坐標為（0，）；

（3）∵AC=m，AF=n，由相交弦定理知1m=nAG，即AG=，

又∵OC是直徑，

∴OE是圓的切線，OE2=EGEF，

在Rt△EOA中，AE==2，

（）2=（2﹣）（2+n）

即2n2+n﹣2m﹣mn=0

解得m=．