Question

如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，點P從點A開始沿△ABC的邊做逆時針運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿△ABC的邊做逆時針運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發；
（1）在運動過程中△PQB能形成等腰三角形嗎？若能則求出幾秒鐘后第一次形成等腰三角形；若不能則說明理由．
（2）從出發幾秒后，直線PQ第一次把原三角形周長分成相等的兩部分？

Answer 1

分析：（1）設t秒后能形成三角形，根據BP=BQ及題中數據可列方程8-t=2t，也就可求出t值；
（2）先用勾股定理求出直角三角形的斜邊AC值，就知道直角三角形的周長，又PQ把周長分成兩部分，所以AP+AC+CQ=BP+BQ，設AP=x，根據已知等量關系就可求出x值，因時間為每秒1cm，即可求出時間．

解答：解：（1）在運動過程中△PQB能形成等腰三角形．理由如下：（1分）
設t秒鐘后第一次形成等腰三角形，
則AP=tcm，BP=（8-t）cm，BQ=2tcm．（2分）
∵BP=BQ，
∴8-t=2t．（4分）
∴t=

8

3

．
∴

8

3

秒鐘后△PQB第一次形成等腰三角形．（5分）

（2）設從出發x秒后，直線PQ第一次把原三角形周長分成相等的兩部分．（6分）
則AP=xcm，BP=（8-x）cm，BQ=2xcm，CQ=（6-2x）cm．
在Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=

82+62

=10cm．
∵AP+AC+CQ=BP+BQ，
∴x+10+（6-2x）=（8-x）+2x，（9分）
解得x=4．
因此出發4秒后，直線PQ第一次把原三角形周長分成相等的兩部分．（10分）

點評：此題綜合性較強，考查了等腰三角形的性質和判定、勾股定理和一元一次方程的應用．