Question

【題目】如圖，半圓O的直徑MN=6cm，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=6cm，半圓O以1cm/s的速度從左向右運動，在運動過程中，點M、N始終在直線BC上，設運動時間為t（s），當t=0s時，半圓O在△ABC的左側，OC=4cm．

（1）當t為何值時，△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切？

（2）當△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在圓相切時，如果半圓O與直線MN圍成的區域與△ABC三邊圍成的區域有重疊部分，求重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】(1)1s、4s、7s、16s;(2)

【解析】試題分析：

（1）結合題意可知，本題存在四種可能，故分以下四種情況討論計算即可：①如圖1，圓O在直線AC左側和直線AC相切；②如圖2，圓O和直線AB左側和直線AB相切；③如圖3，圓O在直線AC右側和直線AC相切；④如圖4，圓O在直線AB右側和直線AB相切；

（2）由（1）可知，在圖2和圖3的情形中，半圓O和△ABC有重疊部分，按圖分情況計算即可.

試題解析：

（1）①如圖1所示：當點N與點C重合時，AC⊥OC，OC=ON=3cm，

∴AC與半圓O所在的圓相切．

∴此時點O運動了1cm，故運動時間為：t=1（s）

②如圖2所示；

當點O運動到點C時，過點O作OF⊥AB，垂足為F．

∵在Rt△FOB中，∠FBO=30°，OB=6cm，

∴OF=3cm，即OF等于半圓O的半徑，

∴AB與半圓O所在的圓相切．

此時點O運動了4cm，故運動時間為：t=4（s）

③如圖3所示；過點O作OH⊥AB，垂足為H．

當點O運動到BC的中點時，AC⊥OC，OC=OM=3cm，

∴AC與半圓O所在的圓相切．

此時點O運動了7cm，故運動時間為：t=7（s）．

④如圖4所示；

當點O運動到B點的右側，且OB=6cm時，過點O作OQ⊥AB，垂足為Q．

∵在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，

∴OQ=OB=3cm，即OQ等于半圓O所在的圓的半徑，

∴直線AB與半圓O所在的圓相切．

此時點O運動了16cm，所求運動時間為：t=16（s）．

綜上所述：當點的值為1s，4s，7s，16s時，半圓O所在圓和△ABC的邊所在直線相切.

（2）當△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時，半圓O與直徑DE圍成的區域與△ABC三邊圍成的區域有重疊部分的只有如圖2與3所示的兩種情形．

①如圖2所示：重疊部分是圓心角為90°，半徑為3cm的扇形，所求重疊部分面積=（cm2）；

②如圖③所示：

設AB與半圓O的交點為P，連接OP，過點O作OH⊥AB，垂足為H．

則PH=BH．

∵在Rt△OBH中，∠OBH=30°，OB=3cm

∴OH=1.5cm，BH=cm，BP=cm，

∴S△POB=BPOH=（cm2）.

又∵∠DOP=2∠DBP=60°，

∴S扇形DOP=（cm2），

∴所求重疊部分面積為：S△POB+S扇形DOP=（cm2）．